Βοήθημα Γεωμετρίας ΣΤ Δημοτικού: Βιβλιαράκι για μαθητές της Στ δημοτικού, αλλά και μικρότερων τάξεων, για τη διδασκαλία της Γεωμετρίας στα Μαθηματικά.
Βοήθημα Γεωμετρίας ΣΤ Δημοτικού – Μέρος Πρώτο
1. Το βιβλίο μου για τη Όνομα:………………………… Η Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με την μελέτη των σχέσεων μεταξύ σχημάτων του επιπέδου ή του χώρου. Μελετά τα σχήματα, τα μεγέθη τους, τη σχετική θέση τους και τις ιδιότητες του χώρου.
2. Σημείο είναι μια κουκκίδα στο χαρτί ή στο χώρο. Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας μας δίνουν την έννοια του σημείου. Α σημείο Α Αν ενώσουμε δύο σημεία, φτιάχνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα. Το ευθύγραμμο τμήμα είναι μια ευθεία γραμμή με αρχή και τέλος. Η αρχή και το τέλος συμβολίζονται με δυο διαδοχικά κεφαλαία γράμματα. Α Β Γ Δ ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ Εάν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, τότε το νέο σχήμα, που δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος, λέγεται ευθεία. Τις ευθείες τις ονομάζουμε με ένα μικρό γράμμα, π.χ. ε ή α. Από ένα σημείο μπορούν να περάσουν άπειρες ευθείες. Από δύο σημεία μπορεί να περάσει μια μόνο ευθεία. Α Β ε ευθεία ε Α ε κ χ Α Β Β ε
3. Παράλληλες Οι ευθείες που όσο κι αν τις προεκτείνουμε δε συναντιούνται ποτέ λέγονται παράλληλες. Τεμνόμενες Όταν δύο ευθείες συναντιούνται σε ένα σημείο λέμε ότι τέμνονται και ονομάζονται τεμνόμενες. Κάθετες Όταν δύο ευθείες τέμνονται και σχηματίζουν ορθές γωνίες είναι κάθετες μεταξύ τους. Γωνία είναι το άνοιγμα μεταξύ δύο πλευρών που ενώνονται σε μια κορυφή και μετριέται σε μοίρες (˚). Τις γωνίες τις συμβολίζουμε με τρία κεφαλαία γράμματα (όπου το γράμμα της κορυφής μπαίνει στη μέση (ΑΟΒ ή ΒΟΑ)) ή με ένα μικρό γράμμα, π.χ. ” ω “, βάζοντας από πάνω του το σύμβολο της γωνίας (^). κορυφή πλευρά πλευρά άνοιγμα 45˚ Α Ο Β ω Το μέγεθος της γωνίας εξαρτάται από το άνοιγμα των πλευρών της και όχι από το μήκος των πλευρών της. Για να μετρήσουμε μία γωνία χρησιμοποιούμε το μοιρογνωμόνιο.
4. ορθή γωνία οξεία γωνία οξεία < ορθή αμβλεία γωνία αμβλεία > ορθή Α Β Γ Δ Ε ΖΗ 60˚ 50˚ 70˚ 85˚ 90˚ 105˚ 80˚ 60˚ + 50˚ + 70˚ = 180˚ 85˚ + 105˚ + 80˚ + 90˚ = 360˚ Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι 180˚. Το άθροισμα των γωνιών του τετραπλεύρου είναι 360˚. Γεωμετρικό σχήμα είναι στα μαθηματικά ένα σύνολο σημείων στο χώρο. κύκλος τετράγωνο τρίγωνο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο πλάγιο παραλληλόγραμμο ρόμβος τραπέζιο πεντάγωνο εξάγωνο οκτάγωνο έλλειψη
Υπάρχουν και αυτά:
5. Τετράγωνο Όλες οι πλευρές ίσες 4 x πλευρά Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Απέναντι πλευρές ίσες 2 x μήκος + 2 x πλάτος Τρίγωνο ισόπλευρο Όλες οι πλευρές ίσες 3 x πλευρά Εξάγωνο κανονικό Όλες οι πλευρές ίσες 6 x πλευρά Περίμετρος ενός γεωμετρικού σχήματος είναι το άθροισμα του μήκους των πλευρών του (το γύρω γύρω) Για να υπολογίσεις την περίμετρο ενός σχήματος θα πρέπει τα μήκη των πλευρών να είναι εκφρασμένα όλα στην ίδια μονάδα μέτρησης. (Αν δεν είναι, πρέπει να κάνω μετατροπές.) Μονάδα μέτρησης του μήκους είναι το μέτρο, Το οποίο έχει υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσια. μέτρο (μ.) – (m) δέκατο (δεκ.) – (dm) εκατοστό (εκ.) – (cm) χιλιοστό (χιλ.) – (mm) χιλιόμετρο (χμ.) – (km) x 1000 x 10 x 10 x 10 : 1000 : 10 : 10 : 10 Για να βρούμε την περίμετρο ενός σχήματος, αρκεί να μετρήσουμε τις πλευρές του, δηλαδή το γύρω γύρω, και να τις προσθέσουμε. 3 εκ 3 εκ 3 εκ 3 εκ Η περίμετρος του σχήματος είναι: 3 + 3 + 3 + 3 = 12 εκ ή 4 x 3 = 12 εκ Ο ακτίνα α διάμετρος δ Η περίμετρος του κύκλου είναι: Π = π · δ ή Π = 2 · π · α, όπου π = 3,14 (μαθηματική σταθερά) Βοήθημα Γεωμετρίας ΣΤ Δημοτικού
6. Εμβαδό μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ο αριθμός που εκφράζει το αποτέλεσμα της μέτρησής της, δηλαδή το μέγεθος μέτρησης της επιφάνειας. Για να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός σχήματος, πρέπει όλες οι πλευρές να έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης. (Αν δεν έχουν, πρέπει να κάνω μετατροπές.) Μονάδα μέτρησης του εμβαδού είναι το τετραγωνικό μέτρο, Το οποίο έχει υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσια. τετρ. μέτρο (τ.μ.) – (m2 ) τετρ. δέκατο (τ.δεκ.) – (dm2 ) τετρ. εκατοστό (τ.εκ.) – (cm2 ) τετρ. χιλιοστό (τ.χιλ.) – (mm2 ) χιλιόμετρο (χμ.) – (km2 ) x 100 x 100 x 100 : 1000000 : 100 : 100 : 100 x 1000000 Εμβαδόν τετραγώνου πλευρά α 3 εκ π.χ. Ε = 3 × 3 = 9 τ.εκ. Εμβαδόν παραλληλόγραμμου π.χ. Ε = 4 × 2 = 8 τ.εκ. π.χ. Ε = 4 × 3 = 12 τ.εκ. βάση 4 εκ ύψος 2 εκ βάση 4 εκ ύψος 3 εκ Το εμβαδό παραλληλόγραμμου (ορθογώνιου ή πλάγιου) είναι: Επαραλ = βάση × ύψος Επαραλ = β × υ Το εμβαδό τετραγώνου είναι: Ετετρ = πλευρά × πλευρά Ετετρ = α × α Ετετρ = α2
7. Εμβαδόν τριγώνου βάση 2 εκ ύψος 4 εκ βάση 4 εκ ύψος 3 εκ π.χ. Ε = = = 4 τ.εκ. π.χ. Ε = = = 6 τ.εκ. Το εμβαδό τριγώνου είναι: Ετριγ = Ετριγ = Εμβαδόν τραπεζίου Το εμβαδό τραπεζίου είναι: Ετραπ = Ετραπ = μεγάλη βάση (Β) 7 εκ ύψος 2 εκ μικρή βάση (β) 4 εκ π.χ. Ε = Ε = = = 11 τ.εκ. Εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνα α Το εμβαδό κυκλικού δίσκου είναι: Εκυκλ.δίσκου = π × α2 όπου π = 3,14 (μαθηματική σταθερά)
8. Γεωμετρικά στερεά είναι τα σχήματα που έχουν τρεις διαστάσεις: μήκος, πλάτος, ύψος. 8 κορυφές 12 ακμές 6 έδρες Όλες οι ακμές του είναι ίσες. Όλες οι έδρες του είναι ίσα τετράγωνα. Όλες του οι γωνίες είναι ορθές. κύβος 8 κορυφές 12 ακμές 6 έδρες Οι ακμές του ανά τέσσερις είναι ίσες. Οι απέναντι έδρες του είναι ίσες. Όλες του οι γωνίες είναι ορθές. ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έδρα κορυφές ακμές 8 κορυφές 12 ακμές 6 έδρες Οι ακμές του ανά τέσσερις είναι ίσες. Οι απέναντι έδρες του είναι ίσες. Καμία γωνία δεν είναι ορθή. πλάγιο παραλληλεπίπεδο Όλα τα σημεία της επιφάνειάς της απέχουν εξίσου από το κέντρο της. σφαίρα Αποτελείται από δυο κυκλικές ίσες βάσεις και μια παράπλευρη κυρτή επιφάνεια. κύλινδρος πυραμίδα κώνος
9. Όγκος ενός στερεού είναι η ποσότητα του χώρου που καταλαμβάνει ένα αντικείμενο, δηλαδή μετράει πόσο χώρο πιάνει ένα αντικείμενο. Μονάδα μέτρησης του όγκου είναι το κυβικό μέτρο, κυβ. μέτρο (κ.μ.) – (m3 ) κυβ. δέκατο (κ.δεκ.) – (dm3 ) λίτρο (λ.) – (lt) κυβ. εκατοστό (κ.εκ.) – (cm3 ) κυβ. χιλιοστό (κ.χιλ.) – (mm3 ) x 1000 x 1000 x 1000 : 1000 : 1000 : 1000 Όγκος κύβου πλευρά α 3 εκ π.χ. Ο = 3 × 3 × 3 = 27 κ.εκ. Ο όγκος κύβου είναι: Οκυβ = Εβάσης × ύψος Οκυβ = α × α × α Οκυβ = α3 Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου π.χ. Ο = 4 × 2 × 1 = 8 κ.εκ. Ο όγκος ορθογώνιου παραλληλόγραμμου είναι: Οορθ.παρ. = Εβάσης × ύψος Οορθ.παρ. = μ × πλ × υ Οορθ.παρ. = α × β × γ Όγκος κυλίνδρου ύψος υ = 3 εκ π.χ. Ο = 3,14 × 12 × 3 = 9,42 κ.εκ. Ο όγκος κυλίνδρου είναι: Οκυβ = Εβάσης × ύψος Οκυβ = π × α2 × υ όπου π = 3,14 (μαθηματική σταθερά) μήκος α = 4 εκ πλάτος β = 2 εκ ύψος γ = 1 εκ ακτίνα κυκλ. δίσκου α = 1 εκ
10. Όταν ένα σχήμα μπορεί να χωριστεί με μια ευθεία γραμμή σε δύο τμήματα, έτσι ώστε το ένα τμήμα να είναι η αντανάκλαση του άλλου, τότε το σχήμα αυτό είναι συμμετρικό ως προς άξονα συμμετρίας. Η ευθεία γραμμή που χωρίζει το σχήμα αυτό στα δύο ονομάζεται άξονας συμμετρίας. Ένα σχήμα μπορεί να έχει περισσότερους από έναν άξονες συμμετρίας, ενώ ο άξονας συμμετρίας μπορεί να βρίσκεται και έξω από το σχήμα.